یک الگوریتم کوانتومی جدید برای مکانیک کلاسیک با افزایش سرعت نمایی – وبلاگ تحقیقاتی گوگل

ارسال شده توسط رابین کوتاری و رولاندو سوما، دانشمندان پژوهشگر، تحقیقات گوگل، تیم هوش مصنوعی کوانتومی

رایانه‌های کوانتومی قول می‌دهند که برخی از مسائل را به صورت تصاعدی سریع‌تر از رایانه‌های کلاسیک حل کنند، اما نمونه‌های انگشت شماری مانند الگوریتم فاکتورسازی Shor و شبیه‌سازی کوانتومی با چنین سرعت چشمگیری وجود دارد. از این چند نمونه، اکثر آنها شامل شبیه‌سازی سیستم‌های فیزیکی است که ذاتاً مکانیکی کوانتومی هستند – یک برنامه طبیعی برای رایانه‌های کوانتومی. اما در مورد شبیه سازی سیستم هایی که ذاتاً کوانتومی نیستند، چطور؟ آیا کامپیوترهای کوانتومی می توانند مزیت نمایی برای این کار ارائه دهند؟

در “سرعت کوانتومی نمایی در شبیه سازی نوسان سازهای کلاسیک جفت شده”، منتشر شده در Physical Review X (PRX) و ارائه شده در سمپوزیوم مبانی علوم کامپیوتر (FOCS 2023)، ما در مورد کشف یک الگوریتم کوانتومی جدید گزارش می دهیم که مزیت نمایی ارائه می دهد. برای شبیه سازی نوسانگرهای هارمونیک کلاسیک جفت شده اینها برخی از اساسی ترین سیستم های موجود در طبیعت هستند و می توانند فیزیک سیستم های طبیعی بی شماری را از مدارهای الکتریکی گرفته تا ارتعاشات مولکولی و مکانیک پل ها را توصیف کنند. با همکاری Dominic Berry از دانشگاه Macquarie و Nathan Wiebe از دانشگاه تورنتو، ما نقشه‌ای را پیدا کردیم که می‌تواند هر سیستمی را که شامل نوسانگرهای جفت شده است را به مشکلی تبدیل کند که تکامل زمانی یک سیستم کوانتومی را توصیف می‌کند. با توجه به محدودیت های خاصی، این مشکل را می توان با یک کامپیوتر کوانتومی به طور تصاعدی سریعتر از یک کامپیوتر کلاسیک حل کرد. علاوه بر این، ما از این نگاشت برای اثبات اینکه هر مسئله ای که به طور موثر توسط یک الگوریتم کوانتومی قابل حل است، می تواند به عنوان یک مسئله شامل شبکه ای از نوسانگرهای جفت شده، هرچند به صورت نمایی بسیاری از آنها، بازسازی شود. این نتیجه علاوه بر باز کردن قفل برنامه‌های ناشناخته قبلی رایانه‌های کوانتومی، روش جدیدی برای طراحی الگوریتم‌های کوانتومی جدید با استدلال صرفاً در مورد سیستم‌های کلاسیک ارائه می‌کند.

شبیه سازی نوسانگرهای جفت شده

سیستم هایی که ما در نظر می گیریم از نوسانگرهای هارمونیک کلاسیک تشکیل شده اند. نمونه ای از یک نوسان ساز هارمونیک، جرمی (مانند توپ) متصل به فنر است. اگر جرم را از حالت استراحت خود خارج کنید، فنر نیروی بازگرداننده را القا می کند و جرم را در جهت مخالف هل می دهد یا می کشد. این نیروی ترمیم کننده باعث می شود که جرم به سمت جلو و عقب نوسان کند.

یک مثال ساده از نوسان ساز هارمونیک جرمی است که توسط فنر به دیوار متصل می شود. [Image Source: Wikimedia]

حال در نظر بگیرید جفت شده است نوسانگرهای هارمونیک، که در آن چندگانه توده ها از طریق فنرها به یکدیگر متصل می شوند. یک جرم را جابجا کنید و موجی از نوسانات را در سیستم ایجاد کند. همانطور که می توان انتظار داشت، شبیه سازی نوسانات تعداد زیادی جرم در یک کامپیوتر کلاسیک به طور فزاینده ای دشوار می شود.

سیستم نمونه ای از جرم های متصل به فنر که می تواند با الگوریتم کوانتومی شبیه سازی شود.

برای فعال کردن شبیه‌سازی تعداد زیادی از نوسانگرهای هارمونیک جفت‌شده، به نقشه‌ای رسیدیم که موقعیت‌ها و سرعت‌های همه جرم‌ها و فنرها را در تابع موج کوانتومی یک سیستم کیوبیت رمزگذاری می‌کند. از آنجایی که تعداد پارامترهای توصیف کننده تابع موج یک سیستم کیوبیت به صورت تصاعدی با تعداد کیوبیت ها افزایش می یابد، می توانیم اطلاعات مربوط به کیوبیت را رمزگذاری کنیم. ن توپ ها به یک سیستم مکانیکی کوانتومی فقط در حدود log(ن) کیوبیت. تا زمانی که توصیف فشرده ای از سیستم (یعنی ویژگی های جرم ها و فنرها) وجود داشته باشد، می توانیم تابع موج را برای یادگیری مختصات توپ ها و فنرها در زمان بعدی با منابع بسیار کمتری نسبت به زمانی که استفاده می کردیم، تکامل دهیم. یک رویکرد کلاسیک ساده برای شبیه سازی توپ ها و فنرها.

ما نشان دادیم که یک کلاس خاص از سیستم‌های نوسانگر کلاسیک جفت شده را می‌توان به طور موثر در یک کامپیوتر کوانتومی شبیه‌سازی کرد. اما این به تنهایی احتمال وجود الگوریتم کلاسیک هوشمندانه ناشناخته ای را که به طور مشابه در استفاده از منابع کارآمد است، رد نمی کند. برای نشان دادن اینکه الگوریتم کوانتومی ما به یک افزایش نمایی بیش از حد دست می یابد هر الگوریتم کلاسیک ممکن است، ما دو مدرک اضافی را ارائه می دهیم.

مشکل درختان چسبیده و اوراکل کوانتومی

برای اولین شواهد، از نقشه برداری خود استفاده می کنیم تا نشان دهیم که الگوریتم کوانتومی می تواند به طور موثر یک مسئله معروف در مورد نمودارهایی را که حل آنها به صورت کلاسیک دشوار است، به نام مشکل درختان چسبیده، حل کند. این مشکل از دو درخت انشعاب گرفته می شود – نموداری که هر گره آن به دو گره دیگر منشعب می شود که شبیه مسیرهای انشعاب یک درخت است – و شاخه های آنها را از طریق یک مجموعه تصادفی از لبه ها به هم می چسباند، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

یک نمایش تصویری از مشکل درختان چسبیده در اینجا ما از گره ای با برچسب ENTRANCE شروع می کنیم و اجازه داریم به صورت محلی نمودار را بررسی کنیم که با چسباندن تصادفی دو درخت دوتایی به هم به دست می آید. هدف یافتن گره با برچسب EXIT است.

هدف مشکل درختان چسبیده یافتن گره خروجی – “ریشه” درخت دوم – تا حد امکان کارآمد است. اما پیکربندی دقیق گره ها و لبه های درختان چسبانده شده در ابتدا از ما پنهان است. برای آشنایی با سیستم، باید از اوراکل پرس و جو کنیم که می تواند به سوالات خاصی در مورد راه اندازی پاسخ دهد. این اوراکل به ما امکان می دهد درختان را کشف کنیم، اما فقط به صورت محلی. چندین دهه پیش نشان داده شد که تعداد پرس و جوهای مورد نیاز برای یافتن گره خروجی در یک کامپیوتر کلاسیک با یک عامل چند جمله ای متناسب است. ن، تعداد کل گره ها.

اما اگر این مسئله را به عنوان یک مشکل با توپ ها و فنرها تغییر دهیم، می توانیم هر گره را به عنوان یک توپ و هر اتصال بین دو گره را به عنوان یک فنر تصور کنیم. گره ورودی (ریشه اولین درخت) را بچینید و نوسانات از میان درختان عبور می کنند. تنها زمانی طول می کشد که با آن مقیاس شود عمق از درخت – که به طور تصاعدی کوچکتر از ن – برای رسیدن به گره خروجی. بنابراین، با نگاشت سیستم گلوله و فنر درختان چسبیده به یک سیستم کوانتومی و تکامل آن برای آن زمان، می‌توانیم ارتعاشات گره خروجی را تشخیص داده و آن را به صورت تصاعدی سریع‌تر از رایانه‌های کلاسیک تعیین کنیم.

BQP-کامل بودن

دومین و قوی‌ترین مدرکی که نشان می‌دهد الگوریتم ما به‌طور تصاعدی کارآمدتر از هر الگوریتم کلاسیک ممکن است، با بررسی مجموعه‌ای از مسائلی که یک کامپیوتر کوانتومی می‌تواند به طور کارآمد حل کند (یعنی قابل حل در زمان چند جمله‌ای) آشکار می‌شود، که به آن کوانتومی با خطای محدود گفته می‌شود. زمان چند جمله ای یا BQP. سخت ترین مشکلات در BQP “BQP-complete” نامیده می شود.

در حالی که به طور کلی پذیرفته شده است که برخی از مشکلات وجود دارد که یک الگوریتم کوانتومی می تواند به طور موثر آنها را حل کند و یک الگوریتم کلاسیک نمی تواند، این هنوز ثابت نشده است. بنابراین، بهترین مدرکی که می توانیم ارائه کنیم این است که مشکل ما BQP-complete است، یعنی یکی از سخت ترین مشکلات در BQP است. اگر کسی یک الگوریتم کلاسیک کارآمد برای حل مسئله ما پیدا کند، آنگاه هر مسئله ای که توسط یک کامپیوتر کوانتومی به طور موثر حل شود، به طور کلاسیک قابل حل خواهد بود! حتی مشکل فاکتورسازی (یافتن فاکتورهای اول یک عدد بزرگ معین) که اساس رمزگذاری مدرن را تشکیل می‌دهد و به طور معروف با الگوریتم Shor حل شد، انتظار نمی‌رود BQP-کامل باشد.

نموداری که روابط اعتقادی کلاس‌های BPP و BQP را نشان می‌دهد، که مجموعه‌ای از مسائل هستند که می‌توانند به ترتیب بر روی یک کامپیوتر کلاسیک و کامپیوتر کوانتومی به طور موثر حل شوند. مشکلات BQP-complete سخت ترین مشکلات در BQP هستند.

برای نشان دادن اینکه مشکل ما در مورد شبیه‌سازی توپ‌ها و فنرها واقعاً BQP-کامل است، با یک مسئله استاندارد BQP-complete شبیه‌سازی مدارهای کوانتومی جهانی شروع می‌کنیم و نشان می‌دهیم که هر مدار کوانتومی را می‌توان به صورت سیستمی متشکل از توپ‌های متعدد همراه با فنر بیان کرد. بنابراین، مشکل ما نیز BQP-complete است.

مفاهیم و کار آینده

این تلاش همچنین کار سال 2002 را روشن می کند، زمانی که دانشمند نظری کامپیوتر Lov K. Grover و همکارش Anirvan M. Sengupta از قیاسی با آونگ های جفت شده استفاده کردند تا نشان دهند که چگونه الگوریتم جستجوی کوانتومی معروف گروور می تواند عنصر صحیح را در پایگاه داده مرتب نشده پیدا کند. به طور درجه دوم سریعتر از آنچه به صورت کلاسیک انجام می شود. با راه اندازی مناسب و شرایط اولیه، می توان تشخیص داد که آیا یکی از آنها وجود دارد یا خیر ن آونگ‌ها با بقیه متفاوت بودند – مشابه یافتن عنصر صحیح در پایگاه داده – پس از تکامل سیستم برای زمانی که فقط ~√(ن). در حالی که این به ارتباط بین برخی از سیستم‌های نوسانی کلاسیک و الگوریتم‌های کوانتومی اشاره می‌کند، نمی‌تواند توضیح دهد که چرا الگوریتم کوانتومی گروور به مزیت کوانتومی دست می‌یابد.

نتایج ما این ارتباط را دقیق می کند. ما نشان دادیم که دینامیک هر سیستم کلاسیک نوسانگرهای هارمونیک را می توان به طور معادل به عنوان دینامیک یک سیستم کوانتومی متناظر با اندازه نمایی کوچکتر درک کرد. به این ترتیب می‌توانیم سیستم آونگ‌های گروور و سنگوپتا را روی یک کامپیوتر کوانتومی لگ شبیه‌سازی کنیم.ن) کیوبیت، و الگوریتم کوانتومی متفاوتی را پیدا کنید که بتواند عنصر صحیح را در زمان پیدا کند ~√(ن). قیاسی که ما بین سیستم‌های کلاسیک و کوانتومی کشف کردیم می‌تواند برای ساخت الگوریتم‌های کوانتومی دیگری که سرعت‌های نمایی را ارائه می‌دهند، استفاده شود، جایی که دلیل افزایش سرعت اکنون از نحوه انتشار امواج کلاسیک آشکارتر است.

کار ما همچنین نشان می‌دهد که هر الگوریتم کوانتومی را می‌توان به‌طور معادل انتشار یک موج کلاسیک در سیستمی از نوسان‌گرهای جفت شده درک کرد. این بدان معناست که، برای مثال، ما می‌توانیم اصولاً یک سیستم کلاسیک بسازیم که مسئله فاکتورگیری را پس از تکامل آن برای زمانی که به‌طور تصاعدی کوچک‌تر از زمان اجرا هر الگوریتم کلاسیک شناخته‌شده‌ای است که فاکتورسازی را حل می‌کند، حل کند. ممکن است این یک الگوریتم کلاسیک کارآمد برای فاکتورسازی به نظر برسد، اما نکته مهم این است که تعداد نوسانگرها به صورت تصاعدی زیاد است، و آن را راهی غیرعملی برای حل فاکتورسازی می‌کند.

نوسان سازهای هارمونیک جفت شده در طبیعت همه جا وجود دارند و طیف وسیعی از سیستم ها را از مدارهای الکتریکی گرفته تا زنجیره های مولکول ها و ساختارهایی مانند پل ها را توصیف می کنند. در حالی که کار ما در اینجا بر پیچیدگی اساسی این دسته وسیع از مسائل متمرکز است، انتظار داریم که ما را در جستجوی نمونه‌های واقعی از مسائل نوسانگر هارمونیک که در آن یک کامپیوتر کوانتومی می‌تواند مزیت نمایی ارائه دهد، راهنمایی کند.

سپاسگزاریها

مایلیم از ارتباط دهنده علوم محاسبات کوانتومی خود، کتی مک کورمیک، برای کمک به نوشتن این پست وبلاگ تشکر کنیم.